长春理工大学

长春理工大学数学研究生入学初试

《数学分析》考试大纲

一、总体要求

考生应按本大纲的要求，了解或理解数学分析中的函数、极限和连续、实数的基本理论、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、多元函数微积分学的基本概念与基本理论;学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具备有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明。

二、教材

《数学分析》(上、下)，欧阳光中等，复旦大学数学系编(第三版)，高等教育出版社。

三、考试内容

(一)函数、极限和连续

(1)理解函数的概念。学会函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数的图像。理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性，会判断函数的类型。理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。掌握基本初等函数的简单性质及图像。掌握初等函数的概念。会建立简单实际问题的函数关系式

(2)理解极限的概念，能根据极限的概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左、右极限，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件。理解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量的阶的比较。会运用等价无穷小量代换求极限。熟练掌握用两个重要的极限求极限的方法。

(3)理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断函数在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。会求函数的间断点及确定其类型。掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。理解初等函数在其定义区间上的连续性，并会利用连续性求极限。

(二)实数完备性理论的知识

了解实数系的构造理论。理解实数完备性定理的各个定理：区间套定理 柯西收敛准则，有限覆盖定理，聚点定理，确界原理，单调有界性定理和这些定理的等价性。理解闭区间上连续函数性质的证明。了解实数完备性定理在证明数学命题中的应用。

(三)一元函数微分学

(1)理解导数的概念及其几何意义，可导性与连续性的关系，会运用定义求函数在一点处的导数。会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数和反函数求导方法。掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。理解函数和微分概念，掌握微分法则，掌握微分与可导的关系，会求一阶微分

(2)理解罗尔中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它们的几何意义，会用它们证明根的存在性和简单的不等式。熟练掌握用洛必达法则求“”“”“”“”“”“”型未定式的极限的方法。熟练掌握利用导数判定函数单调性及求函数单调增、减区间的方法，会用函数的单调性证明简单不等式。理解函数极值的概念。掌握求函数的极值和最值的方法，并会解简单的应用问题。会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。会作简单函数的图形。理解函数的泰勒公式，泰勒公式的拉格朗日型余项，掌握几个基本初等函数的泰勒公式。

(四)一元函数积分学

(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在性定理。熟练掌握不定积分的基本公式。熟练掌握不定积分的第一换元法，掌握第二换元法。熟练掌握不定积分的分部积分法。会求简单有理函数的不定积分。

(2)理解定积分的概念及其几何意义，掌握定积分的积分和、上和、下和的概念，定积分可积的充分条件、必要条件和充要条件。掌握定积分的基本性质。掌握变上限定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分的求导方法。掌握牛顿---莱布尼茨公式。掌握定积分的换元积分法和分部积分法。掌握定积分在几何计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积、和物理上计算压力、功、重心等简单应用。

(五)无穷级数

(1)了解数项级数的概念，级数的收敛与发散，级数的基本知识，级数收敛的必要条件。熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法。了解任意项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛的概念。掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法。理解无穷限反常积分和无界函数反常积分的概念及几何意义。掌握非负函数反常积分收敛性的比较判别法。

(2)了解幂级数、幂级数的收敛半径、收敛区间的概念。了解幂级数在收敛区间内的性质(和、差、逐项求导、逐项积分)。掌握幂级数的收敛半径、收敛区间的的求法。会运用基本初等函数的麦克劳林公式将一些简单的初等函数展开为幂级数。

(六)多元函数微分学

了解平面点集，多元函数的定义，二元函数的定义域，二元函数的几何意义，二元函数极限，累次极限，二元函数的连续性概念，有界闭区域上连续函数的性质。掌握偏导数、全微分的概念，可微性的几何意义与应用。熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算，掌握复合函数偏导数和全微分的计算。掌握方向导数，梯度的计算，了解隐函数定理，掌握隐函数及隐函数组的的微分的计算。掌握平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线的方程的计算。了解二元函数泰勒公式，熟练掌握二元函数的无条件极值的计算，掌握条件极值的拉格朗日乘数法。

(七)多元函数积分学

了解二重积分的概念、二重积分的可积条件、一般区域上的二重积分，熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算，掌握二重积分的换元法、含参量积分的导数。了解三重积分的概念，掌握直角坐标下化三重积分为累次积分。了解第一型曲线积分和第一型曲面积分的概念，掌握第一型曲线积分和第一型曲面积分的计算，了解第二型曲线积分和第二型曲面积分的概念，掌握第二型曲线积分和第二型曲面积分的计算。了解格林公式，曲线积分与路径的无关性。了解高斯公式，知道斯托克斯公式。