华侨大学

华侨大学硕士研究生招生考试初试自命题科目考试大纲

招生学院：数学科学学院 招生专业：数学

科目名称：高等代数

一、考试形式与试卷结构

(一)试卷满分值及考试时间

本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

(二)答题方式

答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)相应的位置上。

(三)试卷内容结构

考试内容主要包括矩阵理论，包含行列式、矩阵的相抵、相似、合同分类(30%);线性方程组(10%);线性空间(15%);线性映射(25%);多项式(20%)。

(四)试卷题型结构

1.计算题(60分)，共4-6道;

2.证明题(90分)，共5-7道。

二、考查目标

课程考试的目的在于测试考生对于《高等代数》的基本概念、基本知识、基础方法的掌握情况以及综合运用(线性)代数技巧研究代数对象的结构和表示的能力。

三、考查范围或考试内容概要

第一部分 矩阵理论

1. 矩阵的行列式

行列式的定义与计算;拉普拉斯(Laplace)定理;范德蒙德行列式

2. 矩阵的运算

矩阵的乘法的基本性质，包括乘法与迹、转置、行列式的关系;可逆矩阵的性质与计算

3. 矩阵的相抵分类

初等变换;矩阵秩的定义及性质;矩阵相抵的充要条件

4. 矩阵的相似分类

矩阵的特征值与特征向量;相似的不变量(包含行列式因子、不变因子、初等因子组);特征多项式与极小多项式;矩阵可对角化;正交矩阵与正交相似;斯密特(Schmidt)正交化过程;计算复矩阵的约当(Jordan)标准形

5. 矩阵的合同分类

二次型的标准形和规范形;实二次型的惯性定理;正定矩阵

第二部分 线性方程组

1. 向量组

(列)向量的线性关系;向量组的极大线性无关组与秩

2. 线性方程组

高斯(Gauss)消元法;线性方程组解的结构;克莱姆(Gram)法则

第三部分 线性空间

1. 一般线性空间

线性空间的公理定义;线性空间的基与维数;线性空间的同构;子空间的维数定理;子空间的直和

2. 具有几何结构的线性空间

欧式空间;柯西(Cauchy)不等式;斯密特(Schmidt)正交化与标准正交基

第四部分 线性映射

1. 线性映射与矩阵的关系

线性映射的基本性质;线性映射在不同基下的(表示)矩阵;双线性映射的度量矩阵

2. 线性映射的结构

线性映射的维数定理;线性变换的不变子空间

3. 线性映射与矩阵相似分类的进一步联系

Jordan 标准形对应的不变子空间分解(根子空间分解和循环子空间分解);Jordan-Chevalley分解定理

第五部分 多项式

1. 多项式的基本性质

多项式的度;带余除法;最大公因式;互素

2. 多项式的结构

唯一分解定理;重因式与重根;多项式函数

3. 不可约多项式

代数基本定理;实数域上的不可约多项式;本原多项式的唯一分解定理;艾森斯坦(Eisenstein)判别法;整系数多项式的有理根

四、参考教材或主要参考书：

《高等代数》，林亚南 编著，高等教育出版社，2013年.