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集美大学2021年硕士研究生入学考试初试自命题考试大纲

考试科目代码：[622]

考试科目名称：数学分析

一、考核目标

(一)考查考生对数学分析的基本概念、基本理论、基本方法和基本计算的理解和掌握程度。

(二)考查考生的基本计算能力，逻辑推理能力，抽象思维能力，分析和解决实际问题的综合能力。

二、试卷结构

(一)考试时间：180分钟，满分：150分。

(二)题型结构

1、计算题：6小题，每小题12分，共72分。

2、讨论题：2小题。每小题15分，共30分。

3、证明题：4小题，每小题12分，共48分。

三、答题方式

闭卷笔试。

四、考试内容

(一)一元函数微积分学部分，35%(52分)

考试内容：

1、分析引论

函数初等特性;数列、函数极限分析定义;左、右极限;无穷小与无穷大定义;无穷小的比较;极限一般性质、四则运算性质;极限存在判定准则;求极限方法;函数的连续性;间断点及分类;函数一致连续性及判定法;闭区间上连续函数4条性质;上(下)确界、上(下)极限、聚点概念;实数完备性的7个等价描述。

2、一元函数微分学

导数概念及几何意义;导数四则、复合、反函数运算法则;隐函数、参量函数求导方法;微分概念及几何意义;微分四则运算法则;高阶导数;高阶微分;求导数或微分;Fermat引理;Rolle、Lagrange和Cauchy中值定理;两种余项形式的Taylor公式;洛必塔法则;函数单调性、凹凸性及判定法;函数极值点、拐点及判定法;曲线渐近线与作图。

3、一元函数积分学

原函数概念;不定积分及性质;定积分概念;可积性判定准则;可积的充分条件;定积分性质;定积分中值定理;变限积分函数及性质;原函数存在性;微积分学基本定理;换元积分法;分部积分法;不定积分计算法;定积分计算法;定积分在几何上应用。

考试要求：

1、理解变量极限及连续的概念，会判定极限的存在性，掌握求极限的基本方法，掌握函数一致连续性的论证方法，掌握闭区间上连续函数的基本性质，理解上(下)确界概念，了解实数完备性的等价命题。

2、理解导数和微分的概念，掌握导数与微分、高阶导数的计算方法，掌握微分中值定理、Taylor公式及其应用，会用导数判定函数的性态。

3、理解不定积分、定积分的概念，了解可积性判定准则，掌握微积分学基本公式及其应用，掌握定积分的性质和计算方法，会用微元法解决实际问题。

(二)多元函数微积分学部分，35%(53分)

考试内容：

1、多元函数微分学

多元函数概念;重极限与累次极限;重极限存在性判定与求法;多元函数连续性及性质;偏导数、方向导数与全微分概念;一阶全微分形式不变性;高阶偏导数;二元函数微分中值定理;偏导数计算法;链锁法则;隐函数(组)存在性及求导法;偏导数在几何上应用;多元函数极值及判定法;条件极值与Lagrang乘数法;多元函数最大(小)值的确定。

2、多元函数积分学

二、三重积分概念与性质;重积分累次积分法、极坐标法、截面积分法、柱面坐标法、球面坐标法、一般变量替换法;两类曲线积分概念、性质及联系;两类曲线积分计算法;Green公式;两类曲面积分概念、性质及联系;两类曲面积分计算法;奥高公式;Stokes公式;平面曲线积分与路径无关的等价命题;各类积分在几何上的应用;场论初步(梯度场、散度场、旋度场)。

考试要求：

1、会判定重极限的存在性，理解多元函数连续、偏导数、全微分、方向导数的概念及相互联系，掌握偏导数的计算方法，掌握微分学在几何上的应用，掌握多元函数极值的判定法，会用Lagrang乘数法解决实际问题。

2、理解重积分、曲线积分、曲面积分的概念及性质，掌握二重、三重积分的基本计算方法，掌握两类曲线积分、曲面积分的相互联系和计算方法，掌握Green公式、奥高公式及其应用，了解Stokes公式及场论。

(三)无穷级数论与反常积分部分，30%(45分)

考试内容：

1、无穷级数论

常数项级数敛散性及性质;正项级数审敛法;任意项级数审敛法;绝对收敛与条件收敛;函数项级数相关概念;函数列(级数)一致收敛性及判别法;函数列(级数)的分析运算性质;幂级数收敛半径;Abel第一、第二定理;幂级数分析性质;5个重要Maclaurin展开式;Riemann引理;Fourier级数的收敛性定理;Fourier变换;函数展开成幂级数;函数展开成Fourier级数或正弦、余弦级数;级数求和问题。

2、反常积分与含参变量积分

两类反常积分敛散性及性质;反常积分审敛法;绝对收敛与条件收敛;两类反常积分的联系;含参变量积分(反常积分)函数的概念;含参量积分函数的分析性质;含参量变限积分函数的求导法则;含参变量反常积分一致收敛性及判别法;含参量反常积分函数分析运算性质;反常积分(含参变量积分)计算法。

考试要求：

1、理解绝对收敛和条件收敛概念，掌握常数项级数的各种审敛法，理解函数列(级数)一致收敛性概念，掌握一致收敛判别法，掌握函数列(级数)分析运算性质，会将函数展开成幂级数或Fourier级数，掌握幂级数求和方法。

2、理解两类反常积分敛散性的概念与性质，掌握反常积分的各种审敛法，会计算简单的反常积分，理解含参变量积分(反常积分)函数的概念及分析性质，掌握含参变量反常积分一致收敛判别法。

五、主要参考书目

(一)欧阳光中等编：《数学分析》(第四版)，高等教育出版社，2018年版。(或欧阳光中等编：《数学分析》(第三版)，高等教育出版社，2007年版。)

(二)刘玉琏等编：《数学分析讲义》(第五版)，高等教育出版社，2011年版。

(三)数学分析其它本科通用教材。