榆林学院

榆林学院数学与统计学院2024年研究生招生考试预告已发布，内容如下

自命题考试科目

学科教学（数学）专业考试科目名称及代码：数学分析与高等代数880

数学分析与高等代数科目考试大纲

（1）科目及代码：数学分析与高等代数(科目代码：880)

（2）主要参考书目：

[1]华东师范大学数学系主编.《数学分析》（第五版上册），高等教育出版社，2019.

[2]北京大学数学系前代数小组编.高等代数（第五版），高等教育出版社，2019.

（3）本考试大纲适用于报考学科教学(数学）硕士研究生的入学考试。

（4）考试方式与试卷结构

考试方式：闭卷笔试。

本科目满分150分，每门课程约占75分，考试时间180分钟。

试题题型：计算题（约60分）、证明题（约60分）、解答题（约30分）。

（5）考试内容及基本要求

（一）数学分析部分：数列极限、函数极限、函数连续性、导数与微分、微分中值定理、不定积分、定积分、定积分的应用、反常积分。

1.函数的极限与连续

1）理解数列和函数极限的定义、性质，会求数列和函数的极限；

2）理解连续的定义，会判别间断点类型，理解闭区间上连续函数的性质；

3）理解初等函数在其定义区间上的连续性，掌握利用连续性求极限的方法。

2.导数

1）理解导数的定义与几何意义、可导与连续的关系；

2）会求函数的导数：复合函数求导、隐函数求导、参数方程所确定的函数的导数、对数求导法、分段函数的导数、高阶导数；

3）理解微分的定义、微分与导数的关系，会用定义判别可微性，会求一元函数的微分。

3.微分

1）理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，并会用它们证明根的存在性和简单不等式；

2）会用洛必达法则求极限；

3）理解函数极值的概念，会求函数极值和最值；

4）理解函数的泰勒公式，掌握常见基本初等函数的泰勒公式；

5）会判别曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

4.不定积分

1）理解原函数和不定积分的概念、不定积分的性质、原函数存在性定理；

2）掌握不定积分基本公式、换元积分法、分部积分法，会求不定积分。

5.定积分

1）理解定积分的定义、性质和几何意义，了解可积的必要和充分条件；

2）掌握变上限积分的求导、牛顿莱布尼茨公式、定积分的换元和分部积分法，会求定积分；

3）掌握定积分在几何中的应用，会求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。

6.反常积分

1）理解广义积分的概念、性质和几何意义；

2）会判别广义积分收敛性。

（二）高等代数部分：多项式、行列式和线性方程组、矩阵及其标准形、二次型、特征值和特征向量、线性变换、欧氏空间。

1.多项式

1）理解并掌握一元多项式的概念和性质，掌握整除的概念和性质，掌握带余除法理论，会用辗转相除法求两个多项式的最大公因式，会证明有关互素的一些命题；

2）掌握因式分解定理，会判断多项式有无重因式，掌握余数定理，会判断多项式有无重根，掌握复系数、实数多项式及有理系数多项式的因式分解理论；

3）理解并掌握根与系数关系，掌握关于有理系数多项式的理论，会求有理系数多项式的有理根，会判断多项式在有理数域上是否可约。

2.行列式

1）掌握行列式的定义和基本性质，会计算高阶规律性强的行列式，掌握范德蒙德（Vandermonde）行列式，并且能运用行列式理论解决相关问题；

2）掌握行列式的按行（按列）展开定理，会应用克拉默（Cramer）法则解决线性方程组的相关问题。

3.矩阵

1）理解矩阵的基本概念及其性质，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及这些运算的规律；

2）掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件，掌握伴随矩阵的概念与性质，理解矩阵的初等变换及矩阵等价的概念，会求矩阵的秩及逆矩阵；

3）理解分块矩阵，掌握分块矩阵的运算及初等变换。

4.线性方程组求解

1）理解向量线性相关、向量组等价、极大无关组、向量组的秩、矩阵的秩、基础解系、解空间等概念,会证明有关线性相关或线性无关的命题；

2）掌握线性方程组解的理论，会求解线性方程组。

5.二次型

1）掌握二次型的概念及二次型的矩阵表示、二次型秩的概念、二次型的标准形、规范形及惯性定律，会用合同变换、正交变换化二次型为标准形；

2） 掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法，会判断二次型和对应矩阵的正定性。

6.线性空间

1）理解线性空间、子空间、生成子空间、基、维数、坐标、过渡矩阵、子空间的直和、线性空间同构等概念，会证明有关子空间的直和的命题；

2）掌握基扩张定理、维数公式，会求基、维数、坐标及过渡矩阵。

7.线性变换

1）理解线性变换、特征多项式、特征子空间、不变子空间、相似变换、相似矩阵等概念；

2）掌握线性变换的性质，特征值、特征向量的性质，核空间与值域的性质，会求给定矩阵的特征值、特征向量；

3）掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法。

8.欧氏空间

1）掌握内积、欧氏空间、向量长度、夹角、距离、度量矩阵、标准正交基、正交变换、正交矩阵等概念；

2）掌握标准正交基的性质、正交变换的性质，会用施密特（Schmidt）正交化方法化线性无关向量组为标准正交向量组；

3）掌握实对称矩阵的特征值、特征向量的性质，会用正交相似变换将实对称矩阵相似（合同）对角化

二、考生的学术要求

1.学科教学（数学）接受计算机、物理、统计学、机械、电气工程、能源等理工类专业的考生跨专业报考。跨专业考生在复试阶段加试（初等数学研究、数学教学论）两门主干课程。

2.以本科毕业同等学力身份报考的考生，须符合以下条件：①复试时必须提交毕业证书原件和在学术刊物上公开发表的相当于大学本科毕业论文水平的文章（不限学科专业）。②进修（或就读）学校教务部门开具的进修（或就读）本科课程合格成绩单（6门或6门以上）。③同等学力考生在复试时须加试两门大学本科主干课程。④同等学力人员仅限报考所学专业，不得跨学科报考。⑤同等学力考生在我校进行现场报名时须提交能证明本人具有报考资格的材料原件。