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考研数学复习点拨：内功深厚 融会贯通
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 zhouqq1219
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发表于 2015-06-01 23:05
楼主
数学教研室刘纬宇老师在之前的指导类文章中已经提及并介绍过泰勒公式产生于用简单的函数代替复杂的函数。现在不妨设f(x)为一个复杂的函数，而f(x0)+ f'(x0)(x-x0)+ f''(x0)/2!(x-x0)^2+...+ f(n)(x0)/n!(x-x0)^n是简单的函数，其中x0为给定的实数。这时老师虽看不到屏幕前你的表情，但能猜到大概。肯定有人在犯嘀咕：老师， 你不是在忽悠我吧？怎么我的感觉和你说的正好相反——你说的复杂的函数我看起来很简单，你说的简单的函数反而看起来很复杂？
这还是老问题，我们看问题要看本质：f(x)涉及到复杂的运算，但却披着一个简单的符号表示外 壳；那个长长的函数虽然样子复杂，但只涉及到了简单的运算：加法和乘法，人家是多项式！还有小伙伴在疑惑中，真的是多项式吗？请注意一长串符号中哪些是常 量，哪些是变量：只有x是变量，其余皆为常数。注意到x的最高次数出现在最后一项，为n次，所以我们可以明正言顺地给这个“长长的式子”起个名字了——n 次多项式。 请仔细观察，这两个函数有什么关系？计算如下几项即可水落石出：二者在x0的函数值，一阶导数 值，二阶导数值，......,n阶导数值。发现什么了？二者的上述数值均相等。这说明什么？说明了二者在x0的附近函数值非常接近。如果画出二者图像， 不难得出二者在x0附近的图像很接近。现在咱们的数学问题是不是初步得到解决了：复杂的函数在x0附近和简单的函数——n次多项式近似相等。只是近似相等！数学家仍不满足，他们有“宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王”的情怀，于是考虑： 二者到底差多少呢？二者的差值我们称为余项。余项有两种形式：带小o的形式和带中值的形式，分别称为皮亚诺余项和拉格朗日余项(我很想写“张三余项”，可 是张三水平不够，未作出相应贡献)。两种形式的公式能在各自的地盘上一显身手：前者用来算极限，后者用来证明。 看，泰勒公式已悄然来到我们身边！下面，我们经典再回首，看看“高大上”的泰勒公式到底为何物。泰勒公式的思想是用简单的多项式函数表示复杂的函数。二者的差值用余项表示，余项有两种形式：皮亚诺余项和拉格朗日余项。前者用来算极限，后者用来证明。 聊完了计算极限的高级武器——泰勒公式，我们再看打通线代任督二脉的不二法门——秩。秩可谓穿 越古今中外。在中国古代，有“品秩”一说，表示官员按照俸禄的排序。在现代社会，请大家用秩组个词？不少同学会想到“秩序”。这个词也有次序的含义。那么 秩在英文中对应哪个单词呢？对，rank。rank也有次序，排序之意。总之，秩有级别、排序之意。那么在数学中矩阵的秩，向量组的秩是否也有此意呢？欲 知后事如何，且听下回分解。(刘纬宇/文) |
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